Honda gravitatoria (II)

Decíamos ayer.... Dicen que así comenzó Fray Luis de León su primera clase, tras una larga ausencia debida a su encarcelamiento. A mí ni me han encerrado, ni ha pasado tanto tiempo desde el anterior envío, pero un tema personal me ha tenido apartado unos días de este blog, precisamente cuando el último envío terminaba con la frase de la que hablaré mañana.

Pues bien, decíamos ayer que una honda gravitatoria aprovechaba la gravedad y la cantidad de movimiento de un cuerpo astronómico para modificar la velocidad y trayectoria de un vehículo espacial. En la maniobra descrita, la única fuerza que actuaba sobre dicho vehículo era la gravedad. Pero se puede realizar la misma maniobra encendiendo los propulsores de forma adecuada, para aumentar (o disminuir) la velocidad todavía más.

Imaginemos un vehículo que se acerca a un planeta, desde el sistema de referencia del planeta. Como ya sabemos, si a una determinada distancia D, el vehículo se acerca a una velocidad V, al completar la maniobra y alcanzar nuevamente la distancia D, la velocidad será otra vez V. Imaginemos ahora que a esa distancia D, la velocidad es V+Δv, ya que antes de alcanzar ese punto habríamos encendido un rato los propulsores, y aumentado nuestra velocidad en Δv, y los apagamos después. Tras la maniobra, la nave se alejaría a velocidad V+Δv, al alcanzar la distancia D.

Antes de seguir hay que matizar una cosa. Al acercarnos a diferente velocidad, la trayectoria final será distinta, ya que el radio de giro, por llamarlo así, depende de la velocidad. Concretamente depende del vector velocidad en el punto más cercano al planeta, que se denomina periápside. Sin embargo, nos vamos a fijar únicamente en el valor absoluto de la velocidad.

Bien, una primera conclusión podría ser que no ha servido de mucho encender los propulsores (salvo por el mencionado cambio de dirección). Pero fijaos en que hemos incrementado la velocidad de acercamiento, y hemos obtenido como resultado un incremento en la velocidad de alejamiento. Si ese incremento de velocidad supone la diferencia entre superar o no la velocidad de escape, claro que ha servido de mucho. Y lo hemos hecho proporcionando una pequeña aceleración en la misma dirección de la caída hacia el planeta. Imaginad la aceleración que habría que proporcionar para detener el vehículo e impulsarlo en sentido contrario a suficiente velocidad.

Esta maniobra tiene algo muy curioso. Con el mismo incremento de velocidad, es decir, con el mismo gasto de combustible, cuanto más cerca del planeta estemos, mayor velocidad final obtendremos con el mismo. ¿Sí? Sí. Recordemos la fórmula de la energía cinética de un objeto: E=(1/2)mV², donde m es la masa del objeto, y V su velocidad. Un incremento lineal en la velocidad, resultará en un incremento cuadrático de la energía cinética. Si incrementamos la velocidad en Δv, tendremos una energía cinética de E=(1/2)m(V+Δv)². Recordando cómo se desarrolla el cuadrado de una suma, y restando esta cantidad a la energía cinética original, tenemos que el incremento de energíc cinética es de ΔE=(1/2)m(Δv²+2V·Δv). Como véis, el incremento de energía depende de la velocidad inicial. Cuanto mayor sea, mayor será el incremento de energía.

¿Cómo es posible? ¿De dónde viene la energía extra? Una respuesta sencilla sería que viene, lógicamente, de los motores. Pero hemos dicho que con un mismo incremento de velocidad (y por tanto, una misma aceleración, y por tanto, un mismo consumo de energía), se obtienen distintos incrementos de energía. Así que ¿de donde viene la diferencia? Una vez más, el principio de la conservación de la cantidad de movimiento, nos da la explicación. No olvidemos que para propulsar un vehículo en el espacio, lo que hacemos es expulsar en dirección contraria gases a gran velocidad, procedentes de una combustión. Podemos imaginar sistemas más exóticos, pero si queremos autopropulsarnos, sin ninguna fuerza exterior, por muchas cosas que imaginemos, siempre tenemos que lanzar algo en dirección contraria, de forma que la suma de la cantidad de movimiento de nuestra nave y lo lanzado sea la misma que tenía nuestra nave antes. Así que la energía cinética que adquirimos proviene en parte de nuestros motores, y en parte de la energía cinética que robamos al material que dejamos atrás.

Vale, y esa energía cinética ¿no se convierte en energía potencial gravitatoria? Parte sí, pero la energía potencial gravitatoria sólo depende de la masa del cuerpo que utilicemos como honda, y de nuestra distancia a él. No depende de la velocidad. Por tanto, la energía cinética que se transforma en potencial al alejarnos determinada distancia, siempre será la misma, independientemente de la velocidad a la que lo hagamos.

Resumiendo: si encendemos nuestros propulsores un rato, en las cercanías del periápside, obtendremos el máximo incremento de velocidad, al final de toda la maniobra.

Volvamos entonces a la escena de Perdidos en el Espacio, que empezó esta serie de envíos. ¿Es posible? Pues va a ser que no. Durante todo este tiempo hemos supuesto que no hay rozamientos. Eso es cierto a suficiente distancia del planeta, fuera de la atmósfera. Pero dentro de ella, la cosa cambia completamente. Como todos sabemos, un cuerpo en movimiento dentro de un fluido (como nuestra atmósfera), recibe una fuerza que se opone al movimiento. Esta fuerza de rozamiento depende de la velocidad, siendo mayor cuanto mayor es ésta. Concretamente, a grandes velocidades, es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad.

Un cuerpo en caída libre, en una atmósfera, acelera debido a la gravedad. Pero esta aceleración es cada vez menor, debido a que la fuerza de rozamiento aumenta con la velocidad. Llega un momento en el que la fuerza de rozamiento es igual a la de la gravedad, y el objeto cae a velocidad constante. Es lo que se conoce como velocidad terminal, de la que ya he hablado en varias ocasiones.

La velocidad terminal se alcanza relativamente pronto, al cabo de unos segundos. Por ejemplo, se calcula que un hombre adulto, en posición horizontal, con las extremidades extendidas, alcanza la velocidad terminal tras más o menos 300 m de caída. En la película, la nave es bastante aerodinámica, por lo que alcanzaría su velocidad terminal en más recorrido. Pero por mucho que alarguemos esa distancia, llegaríamos tal vez a unos pocos km de recorrido. La Tierra tiene un radio de más de 6.000 km, y aunque en la peli estaban en otro planeta, no parecía mucho más pequeño, por lo que podemos pensar que estamos hablando igualmente de miles de km. Durante la mayor parte del recorrido, la energía potencial gravitatoria no se transformaría en cinética, sino que se perdería en el rozamiento.

Y no sólo eso. La velocidad terminal disminuiría a medida que descienden por el planeta, por lo que estarían gastando energía de los motores, simplemente en mantener la velocidad. ¿Por qué disminuye? Por un lado, la densidad del aire aumenta a medida que descendemos, ya que la presión es mayor. Al aumentar la densidad, aumenta la resistencia del mismo, por lo que aumenta la fuerza de rozamiento.

Por otro lado, si atravesamos un planeta, la fuerza de gravedad disminuye a medida que nos aproximamos al centro. ¿Disminuye? Sí. A medida que descendemos, tenemos parte del planeta encima nuestro, y parte debajo nuestro. Imaginemos una esfera concéntrica al planeta, y con un radio igual a nuestra distancia al centro. Es decir, nosotros estaríamos siempre en la superficie de esa esfera imaginaria. La parte del planeta que quede fuera de la esfera (una especia de corteza hueca), si suponemos que tiene la misma densidad, o al menos ésta tiene simetría esférica, ejercerá sobre nosotros una fuerza gravitatoria nula. La explicación de esto requiere adentrarse en el mundo de las integrales, por lo que no la expondré aquí, pero para los más atrevidos, pueden verla en la Wikipedia. Por tanto, sólo la parte del planeta que quede dentro de la esfera imaginaria ejercerá fuerza sobre nosotros. La fuerza gravitatoria aumenta de forma cuadrática a medida que nos acercamos, pero la masa dentro de la esfera, disminuiría de forma cúbica, si suponemos nuevamente una densidad más o menos constante (la masa es igual a la densidad por el volumen, y el volumen depende del cubo del radio). Eso quiere decir, que la fuerza gravitatoria disminuiría de forma lineal, a medida que nos acercáramos al centro del planeta.

Así que, a medida que la nave descienda, el rozamiento aumenta y la gravedad disminuye, por lo que sólo para mantener la velocidad de caída, deberían gastar energía de los motores. No digamos ya para subir una vez atravesado el centro del planeta. Durante parte del recorrido, la energía de los motores se emplearía no sólo en vencer el rozamiento, sino la gravedad. Si no, la nave se detendría antes de llegar a la superficie (posiblemente, más cerca del centro que de aquella), y volvería a caer. Si a esto le añadimos que la nave iba esquivando pedruscos, y colisionando con ellos de vez en cuando, tenemos que lejos de ganar energía con la maniobra, lo que habrían hecho sería desperdiciarla.