Logaritmos y algoritmos

En el envío anterior, al poner la fórmula de la Relación Periodo Luminosidad en una estrella cefeida, no especifiqué que la expresión log(P) se refería al logaritmo decimal de P, ni expliqué qué es un logaritmo. Supuse que todo el mundo lo sabría, ya que es algo que se enseña en el colegio (al menos, se enseñaba en mi época), pero visitando el blog Malaprensa (altamente recomendable), veo que dicha suposición tal vez no fuera acertada. Josu comenta una noticia que trata de la detención de unas personas que se dedicaban a falsificar tarjetas de crédito. En ella (podéis ver el vídeo aquí), al hablar sobre el software que utilizaban, decía:

El programa informático lo había creado uno de los 21 detenidos, un ingeniero de nacionalidad liberiana. Con él descubrían los logaritmos que usa cada banco para crear sus tarjetas y averiguaban los números sin saber el nombre de los titulares. Se inventaban una identidad, y usaban la tarjeta para comprar todo este material a través de Internet

Como bien dice Josu, se refería a algoritmos, cosa que no tiene mucho que ver con un logaritmo, salvo en que una palabra es anagrama de la otra.

¿Qué es un logaritmo? Un logaritmo es la operación inversa a la potenciación (o exponenciación). Supongo que la potenciación si es algo que todo el mundo conoce, pero por si acaso lo explico brevemente. Una potencia es una multiplicación repetida (al igual que una multiplicación es una suma repetida). Si quiero expresar, por ejemplo, 2x2x2x2x2, puedo hacerlo como 2⁵. El 2 es la base, el factor que se multiplica, y el 5 es el exponente, el número de veces que se repite la multiplicación. En este caso, el resultado sería 32 (2⁵=32). Pues bien, el logaritmo es la operación inversa, es decir, el logaritmo de un número es el exponente al que habría que elevar la base para obtener dicho número. En nuestro ejemplo, el logaritmo en base 2 de 32 es 5, es decir, log₂(32)=5. Fijaos que no he dicho logaritmo a secas, sino logaritmo en base 2. Lógicamente, si queremos calcular el exponente al que hay que elevar una base para obtener el dato inicial, necesitamos especificar dicha base. Así, no es lo mismo el logaritmo en base 2 que en base 4. Si calculamos ambos sobre el número 256, tenemos que el logaritmo en base 2 es 8, dado que 2⁸=256, y el logaritmo en base 4 es 4, ya que 4⁴=256.

La función logaritmo se representa como logn, siendo n la base. Existen dos excepciones a esta nomenclatura. Una es el logaritmo en base 10, también llamado logaritmo decimal, que se representa simplemente como log. La otra excepción es el logaritmo en base e, también llamado logaritmo natural, o logaritmo neperiano (por John Napier, inventor de los logaritmos, del que podéis conocer más en el blog Historias de la Ciencia, también muy recomendable), que se representa como ln. ¿Base e? Sí, el número e es un número de gran importancia en matemáticas, aunque para hablar de él necesitaría un envío entero (y algún error en algún sitio, como excusa).

¿Y qué es un algoritmo? Pues un algoritmo es un conjunto finito de pasos para la resolución de un problema. Veamos un sencillo ejemplo. A todos nos enseñaron en el colegio a realizar multiplicaciones de números de varias cifras ¿verdad? Para ello poníamos uno encima del otro con el símbolo X a la izquierda y una raya debajo. Entonces multiplicábamos el dígito de la derecha del número de debajo, por el número de arriba, y anotábamos el resultado. Y para ello, lo hacíamos de derecha a izquierda, dígito a dígito, recurriendo a las tablas de multiplicar del 1 al 9 que nos hicieron memorizar de pequeños, y añadiendo las decenas del exceso de 10 de cada multiplicación a la siguiente (es decir, eso de me llevo una). Luego repetíamos el proceso con el siguiente dígito (del número de debajo), desplazando el resultado una posición a la izquierda. Una vez terminadas todas las multiplicaciones, sumabamos los resultados obtenidos, y teníamos el resultado final. Pues bien, esa forma mecánica de proceder, es un algoritmo.

Así que un algoritmo y un logaritmo poco tienen que ver, salvo la similitud de las palabras, y que son cosas de mates (aunque hay quien define la palabra algortimo algoritmo de forma mucho más genérica, sin relación con las matemáticas).