La paradoja de los gemelos: Un poco de matemáticas

Dedicado a Maelstrom :-)

En el envío anterior, intenté explicar que la famosa paradoja de los gemelos es sólo aparente, es decir, que en realidad no existe, sino que se llega a una conclusión errónea debido a unas premisas o razonamientos incorrectos. Para ello, intenté evitar el uso de las matemáticas, exponiendo el problema y su resolución de forma más o menos intuitiva (cometiendo además un error en lo que se refiere a la contracción espacial, que los que lleguen hasta el final del artículo y lo entiendan, podrán deducir). Sin embargo, las consecuencias de la Relatividad Especial no son nada intuitivas, y eso se ha visto reflejado en los numerosos comentarios de lectores que no acababan de verlo claro. Así que me temo que voy a tener que demostrar que la paradoja no existe, mediante el uso puro y duro de las matemáticas. Pero no temáis, que no veréis cosas raras aquí. Sólo hace falta saber cómo se manipula una igualdad , y no veréis nada más complicado que una raíz cuadrada, es decir, matemáticas que se aprenden en el colegio.

Antes de comenzar con fórmulas y ecuaciones, hay que tener claros un par de conceptos, y conocer el porqué de la Relatividad Especial. Veamos, en las clases de física del colegio, nos enseñaron que para poder resolver cualquier problema, es necesario definir un sistema de referencia, que básicamente es un sistema de coordenadas seleccionado por nosotros. Podemos orientar los ejes como más nos convenga. Podemos situar el origen de coordenadas donde más nos convenga. Podemos incluso tener ejes que roten y un origen que se desplace, de forma que todo nuestro sistema de referencia se mueva. Si el origen se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (esto es, a velocidad constante), y los ejes no rotan, decimos que es un sistema de referencia inercial.

Puesto que podemos seleccionar el sistema de referencia que más nos apetezca, uno puede pensar que el resultado final va a depender del sistema escogido. Sin embargo, el sentido común parece indicar lo contrario, ya que nuestra experiencia cotidiana nos enseña que las cosas ocurren independientemente de cómo las observemos. Galileo ya estableció en su día un principio de relatividad, llamado invariancia galileana o relatividad galileana, que afirma que las leyes fundamentales de la física son iguales en todos los sistemas de referencia inerciales. Así, podemos utilizar cualquier sistema de referencia inercial para resolver un problema, que obtendremos idénticos resultados, aunque expresados en sistemas de coordenadas diferentes. Para traducir las coordenadas de un sistema de referencia a otro, se utiliza la llamada transformación de Galileo, que consiste en lo siguiente: Si tengo un sistema de referencia cartesiano, al que llamaremos S, y un segundo sistema de referencia, al que llamaremos S', cuyos ejes son paralelos al anterior, y además se mueve con respecto a aquél a velocidad constante v, a lo largo del eje X de coordenadas, resulta que para convertir las coordenadas (x, y, z) en el sistema S a las coordenadas (x', y', z') en el sistema S', debemos utilizar las siguientes ecuaciones:

x' = x - v·t

y' = y

z' = z

donde t representa el tiempo. Veamos un ejemplo sencillo. Imaginemos un tren que viaje en línea recta, a una velocidad constante de 100 km/h. Establezcamos como sistema de referencia S un lugar situado en alguna de las estaciones de su recorrido, y comencemos a contar el tiempo desde el momento en el que el tren pasa por la estación. Es evidente que dos horas después, el tren se hallará a 200 km de la aquélla. Sus coordenadas x, y, z serán S(200, 0, 0). Establezcamos ahora un segundo sistema de referencia S', en el propio tren. Utilizando la transformada de Galileo para las coordenadas anteriores, tenemos:

x' = x - v·t = 200 - 100·2 = 0

y' = y = 0;

z' = z = 0

es decir, nuestras coordenadas serán S'(0, 0, 0), lo cual era de esperar, ya que hemos dicho que nuestro origen de coordenadas en S' era el tren. Calculemos ahora las coordenadas de la estación. En S serán S(0, 0, 0), puesto que es el origen. En S' serán:

x' = x - v·t = 0 - 100·2 = -200

y' = y = 0;

z' = z = 0

es decir, S'(-200, 0, 0), algo también bastante intuitivo, ya que la estación quedó 200 km atrás. Fácil, ¿verdad?

Pues sigamos. Resulta que esta transformación que funciona tan bien en el mundo de la mecánica clásica (para entendernos, la mayor parte de la física que hemos estudiado en el cole), no se podía aplicar al electromagnétismo, regido por las ecuaciones de Maxwell. Para mantener la invariancia de los sistemas de referencia inerciales, había que utilizar una transformación diferente, llamada transformación de Lorentz:

x' = γ(x - v·t)

y' = y

z' = z

t' = γ(t - v·x/c2)

donde c es la velocidad de la luz en el vacío, y γ es el llamado factor de Lorentz, que se define como:

γ = 1/(1 - v2/c2)1/2

Fijáos que aparece el tiempo en las ecuaciones. Ya comentaré las implicaciones de eso más adelante. Como véis, la velocidad de la luz en el vacío aparece como una constante. En aquel entonces, se creía en la existencia del eter, que era una especie de sustancia presente en todas partes, y que se podía considerar como sistema de referencia para el reposo absoluto. Es decir, la velocidad podía ser absoluta, ya que este éter sería un sistema de referencia en reposo absoluto. Si esto fuera cierto, la velocidad de la luz medida en la Tierra, sería distinta según la orientación del haz de luz, ya que la Tierra se mueve con respecto a ese supuesto éter. Sería algo parecido a una persona nadando en un río. Su velocidad con respecto a la orilla, dependería de si nada contra corriente, a favor o de forma transversal. Sin embargo, el experimento de Michelson-Morley demostró que no era así. La velocidad de la luz es siempre la misma.

La Teoría de la Relatividad Espacial surgió como un intento de unificar la mecánica clásica de Newton, y el electromagnetismo. Se basa en dos postulados: las leyes de la física son iguales en cualquier sistema de referencia inercial, y la velocidad de propagación de la luz en el vacío es independiente de la velocidad del emisor de luz. A partir de estos postulados, y utilizando la física conocida hasta entonces, Einstein desarrolló su famosa teoría. Una de las consecuencias de este desarrollo es que la velocidad de la luz en el vacío es independiente de la velocidad del observador. Esto parece poco intuitivo, ya que en nuestra experiencia cotidiana, sabemos que si viajamos en un coche a 100 km/h, y nos adelanta un coche a 150 km/h, su velocidad relativa a nosotros es de 50 km/h. Sin embargo con la luz no es así. Si viajamos en una nave espacial a 0,5 c, y desde nuestros puntos de destino y origen nos emiten una señal electromagnética, las veremos viajar a c con respecto a nosotros. A ambas señales. Y sin embargo, desde el origen y el destino, también observarán que la señal se propaga a c.

La única forma de que esto ocurra, es que el tiempo y el espacio se dilaten o contraigan con la velocidad. Antes os hice notar que en las ecuaciones de la transformación de Lorentz, aparece el tiempo. Y es que para entender la Relatividad Especial, debemos asumir que no nos encontramos en un espacio tridimensional, sino cuadrimensional (en realidad hay teorías que establecen más dimensiones, pero eso no viene al acaso ahora) que consiste en las tres dimensiones espaciales y el tiempo. Así, para determinar un punto en un sistema de referencia, no nos vale sólo con las tres coordenadas espaciales (x, y, z), sino que debemos añadir una cuarta coordenada temporal. De esta manera, todo punto estará definido en nuestro sistema de referencia por sus cuatro coordenadas en el espacio-tiempo (x, y, z, t).

Bueno, ya basta de explicaciones y vayamos a lo que hemos venido a hacer: aplicar las matemáticas en el escenario de la paradoja de los gemelos. Recordaré el escenario, pero definiéndolo de forma algo más formal. Tenemos dos planetas, la Tierra y otro al que llamaremos Mundo Destino. Ambos están separados una distancia d constante a lo largo del tiempo, es decir, cada uno de ellos está en reposo con respecto al otro. Una nave espacial viaja a velocidad constante v, pasa muy cerca de la Tierra y se dirige en línea recta a Mundo Destino. Una vez llega allí, continua su viaje. Definamos un sistema de referencia S con el origen de coordenadas espaciales en la Tierra, el eje X con la misma dirección que la línea imaginaria que une la Tierra y Mundo Destino, y el origen temporal en el momento en el que la nave pasa más cerca de la Tierra. Puesto que la nave viaja siguiendo el eje X, vamos a olvidarnos de las coordenadas y, z, y expresaremos los eventos únicamente con las coordenadas x, t, de la siguiente forma: S(x,t). Bien, en nuestro sistema de referencia S, el inicio del viaje se produce en S(0,0), y el final en S(d,t), siendo t=d/v. Definamos un segundo sistema de referencia S', con ejes paralelos a S, con el origen de coordenadas espaciales en la nave, y el origen temporal coincidiendo con S, es decir, en el momento en el que la nave pasa más cerca de la Tierra. El sistema S' se mueve con respecto a S a velocidad v, que es la velocidad de la nave en S.

Pues comencemos con el evento correspondiente al inicio del viaje. Las coordenadas en S son S(0,0). ¿Cuáles son las coordenadas en S', S'(x', t')? Pues dado que ambos orígenes coinciden en ese momento, serán S'(0,0). Podemos comprobarlo con la transformación de Lorentz:

x' = γ(x-v·t) = γ(0-v·0) = 0
t' = γ(t-v·x/c2) = γ(0-v·0/c2) = 0

Bueno, esto no tiene ningún misterio. Vayamos ahora al final del viaje. En S, las coordenadas espacio temporales son S(d,t). Así que tenemos:

x' = γ(d - v·t)
t' = γ(t - v·d/c2)

Como el origen de coordenadas de S' está en la nave, y al final del viaje, la nave ha llegado a Mundo Destino, tenemos que x'=0. Por tanto

0 = γ(d - v·t)

y despejando d tenemos

d = v·t

Lo cual es bastante intuitivo, y coincide con la mecánica clásica. Sustituyamos ahora d por su valor en función de t en la otra ecuación:

t' = γ(t - v·(v·t)/c2)

o lo que es lo mismo

t' = γ(t - t·v2/c2)

Podemos extraer t como factor común, y así tenemos

t' = γ·t(1 - v2/c2)

y simplificando un poco, teniendo en cuenta el valor de γ

t' = [1/(1 - v2/c2)1/2]·t(1 - v2/c2
t' = t·(1 - v2/c2)1/2
t' = t/γ

que es lo que todos esperábamos, ya que γ es mayor que uno (salvo en reposo, que es cero exactamente uno), y por tanto, t' será menor que t. Es decir, al llegar a Mundo Destino el reloj de la nave marcará un valor inferior al reloj de la Tierra, o dicho de otra manera, para la nave el tiempo ha transcurrido más despacio.

Bien. Cambiamos las tornas y supongamos ahora que es el sistema S el que se mueve con respecto a S' a velocidad -v (con signo menos, ya que el sistema S se mueve en sentido contrario, hacia el lado negativo del eje X). La paradoja de los gemelos nos dice que esta vez deberíamos obtener que el tiempo en la Tierra es menor que en la nave (t'=t·γ), pero si la Relatividad Especial es correcta, no debería ser así. Deberíamos obtener exactamente el mismo resultado, ya que ése es precisamente uno de los postulados en los que se basa.

Manos a la obra. El inicio del viaje sucede en las coordenadas S'(0,0). ¿Cuáles con las coordenadas en S? Veámoslo:

x = γ(x' - (-v)t') = γ(0 + v·0) = 0
t = γ(t' - (-v)x'/c2) = γ(0 + v·0/c2) = 0

Es decir, S(0,0), lo cual es coherente con el resultado anterior, y además, lógico, ya que en el inicio del viaje, ambos orígenes de coordenadas coinciden. Vayamos ahora con los cálculos al final del viaje. En el sistema S', la llegada a Mundo Destino sucede en S'(0,t'). ¿Cuáles son las coordenadas en S? Apliquemos la fórmula para la coordenada x.

x = γ(0 -(-v)t')
x = γ·v·t'

Y ahora para la coordenada temporal

t = γ(t' - (-v)x'/c2)
t = γ(t' - 0/c2)
t = γ·t'

o dicho de otra manera

t' = t/γ

Es decir, exactamente lo mismo que calculamos cuando consideramos que era S' el sistema de referencia que se movía, y S el que estaba en reposo. No podía ser de otra manera. Si la Teoría de la relatividad Especial es correcta, la paradoja no puede existir.

Para aquellos que no se aclaren demasiado con esto de manipular igualdades, vamos a poner un ejemplo numérico, utilizando las mismas cifras que en el envío anterior. Es decir, la distancia d entre la Tierra y Mundo Destino es de 4 años luz, y la velocidad de la nave v (y por tanto, del sistema de referencia que se mueva) es de 0,8 c. Comencemos considerando S (el sistema de referencia centrado en la Tierra) como en reposo, y S' (el sistema de referencia centrado en la nave) desplazándose a 0,8 c a lo largo del eje X. En este caso concreto, el factor de Lorentz γ, es:

γ = 1/(1 - v2/c2)1/2 = 1/(1 - (0,8·c)2/c2)1/2 = 1,666666...

Dado que nos sale un número con infinitos decimales, para hacer nuestros cálculos más exactos y cómodos, utilizaremos la inversa de dicho valor, que es de 0,6 (1/1,666666...=0,6). Es decir, cada vez que tengamos que multiplicar por γ, lo que haremos será dividir por 0,6. Vamos a utilizar el año como unidad de tiempo y el año luz como unidad de distancia. En esas unidades, c es precisamente 1 (por definición de año luz). En el inicio del viaje, las coordenadas en S son S(0,0), al igual que en S', que son S'(0,0) (no merece la pena dar más vueltas a esto). Veamos ahora al final del viaje. Teniendo en cuenta que a 0,8 c se tarda 5 años en recorrer 4 años luz, las coordenadas en S son S(4, 5). Aplicamos la transformaciónde Lorentz

x' = γ(x - v·t) = 1,667(4 - 0,8·5) = 0
t' = γ(t - v·x/c2) = γ(5 - 0,8·4) = 3

y tenemos que en S', las coordenadas de la llegada de la nave a Mundo Disco Destino son S'(0,3). Es decir, la coordenada x' es cero, lo cual ya lo sabíamos, puesto que el origen de coordenadas de S' está en la nave, y el tiempo transcurrido en ésta es de 3 años, algo que ya habíamos calculado en el envío anterior. Consideremos ahora que es S quien se mueve con respecto a S', a velocidad -0,8 c (insisto en el signo menos). Hemos visto que las coordenadas en S' del final del viaje son S'(0,3). Aplicando la transformada de Lorentz para calcular las coordenadas en S, deberíadarnos lo mismo que antes, es decir, S(4,5). Veámoslo.

x = γ(x' - v·t') = 1,667(0 - (-0,8)·3) = 4
t' = γ(t - v·x/c2) = 1,667(3 - (-0,8)·0) = 5

Voilà! Exactamente lo mismo que si consideramos a S en reposo y a S' en movimiento. Los resultados que obtenemos son exactamente los mismos. La paradoja de los gemelos en realidad no existe, sino que es fruto de un mal planteamiento

c.q.d.