La paradoja de los gemelos

Al mencionar en el envío anterior las teorías de la Relatividad de Einstein, me vino a la cabeza la famosa paradoja de los gemelos, y cómo suele exponerse de forma incorrecta la mayoría de las veces. ¿De qué trata? Bueno, imaginemos a dos hermanos gemelos, uno de los cuales se monta en una nave espacial y se dirige hacia una estrella a unos pocos años luz, mientras que el otro se queda en la Tierra. La nave espacial no puede viajar más rápido que la luz, pero sí que lo hace a una fracción considerable de ésta. En consecuencia, el viaje dura algunos años. El viajero llega a su destino, se queda un tiempo y decide volver. La Relatividad Especial nos dice que el tiempo se ralentiza con la velocidad, de forma que para el viajero, el tiempo transcurre más lentamente que para su hermano, y por tanto envejece más despacio. Así, cuando se ambos se reencuentran en la Tierra, ambos han envejecido, pero el viajero es más joven que su hermano. En muchas ocasiones, la explicación termina aquí. Pues bien, esto no es ninguna paradoja. No hay ninguna contradicción. Es una forma sencilla de explicar el efecto de dilatación temporal de la Relatividad Especial.

La verdadera paradoja surge cuando tenemos en cuenta que la velocidad no tiene un sentido absoluto, sino que es relativa. En efecto, si viajo en tren y voy caminando hacia la cafetería ¿cuál es mi velocidad? Pues depende, ya que una pregunta así está mal formulada. Velocidad ¿con respecto a qué? Mi velocidad con respecto al tren será muy diferente a mi velocidad con respecto al exterior. Pues bien, la explicación anterior de los gemelos está explicada desde el punto de vista del gemelo que se queda en la Tierra. Él ve a su hermano moverse a una velocidad considerable con respecto a su sistema de referencia, y por tanto el tiempo transcurre más despacio para su hermano. Pero ¿qué pasa si lo hacemos desde el punto de vista del gemelo viajero? En su sistema de referencia (la nave), sería la Tierra la que se mueve con respecto a él, por lo que sería su hermano (el de la Tierra) el que experimentara la dilatación temporal. Al regresar, el viajero esperaría encontrarse a su hermano más joven que él. Es decir, ambos esperan ver a su otro hermano más joven que él mismo. Y lógicamente, esto no puede ocurrir. O tienen la misma edad, o uno es más joven que el otro, pero no puede ser que ambos sean más jovenes que el otro simultáneamente. Pues bien, eso sí es una paradoja.

Muy interesante, y ¿cómo se resuelve esta aparente paradoja? Bueno, se han escrito chorros de tinta sobre el tema (incluido el propio Einstein). La explicación más habitual es la que dice que estamos ante un problema no simétrico, aunque pueda parecerlo. La nave espacial sufre aceleraciones al iniciar el viaje, al frenar en su destino, al inicial la vuelta y al frenar de regreso a la Tierra. Esto quiere decir que si adoptamos como sistema de referencia la nave, no estaremos utilizando un sistema de referencia inercial, y por tanto la Relatividad Especial no puede aplicarse. Debido a estas limitaciones, Einstein desarrolló la llamada Relatividad General, que sí se puede aplicar a sistemas no inerciales. Como ya comenté hace tiempo, una de las consecuencias de esta teoría es que los efectos de un campo gravitatorio y de una aceleración son indistingubles. Es decir, sin referencias externas (por ejemplo, encerrado en la bodega de una nave espacial), no puedo distinguir si estoy en la superficie de la Tierra, o en elespacio acelerando a 1 g. Otro efecto de la Relatividad General es la dilatación temporal en presencia de un campo gravitatorio, siendo mayor la dilatación cuanto mayor sea el campo. Por tanto, al sufrir aceleraciones y deceleraciones, también existirá dilatación temporal. Así, en el caso de los gemelos, aunque cada uno vea el tiempo del otro transcurrir más despacio, durante las aceleraciones y deceleraciones de la nave espacial, el tiempo del gemelo viajero se ralentiza mucho con respecto a su hermano. Desde su punto de vista, primero vería cómo el tiempo transcurre mucho más rápido para su hermano durante el despegue. Una vez alcanzada la velocidad de crucero, vería que su hermano envejece más despacio (pero ya es más viejo que él). Al llegar a su destino y frenar, volvería a ver como el tiempo de su hermano se acelera, envejeciendo rápidamente.

Sin embargo esta explicación tiene varios problemas. Por un lado, si la aceleración y deceleración de la nave espacial no supera 1 g (9,8 m/s²), la dilatación temporal debida a la Relatividad General será mayor en el caso del hermano que se queda en la Tierra, ya que él está sometido a una aceleración mayor, y durante todo el tiempo (recordad que la gravedad es equiparable a una aceleración). Además, la diferencia final de edades parece depender de la aceleración de la nave, y no de su velocidad final y la duración del trayecto. Por tanto debemos buscar la explicación de esta aparente paradoja en otro sitio. Y ese otro sitio es la propia Relatividad Especial.

Imaginemos una variación del escenario: una nave espacial a velocidad constante pasa muy cerca de la Tierra, y en ese momento establecemos el origen temporal de nuestro experimento. La nave sigue su trayecto, sin variar rumbo ni velocidad, hasta llegar a otro planeta, y continúa adelante. ¿Qué marcarán los relojes de la nave y de la Tierra en el momento de la llegada al planeta? Ambos sistemas de referencia (la Tierra y la Nave) son inerciales, por lo que se puede aplicar la Relatividad Espcial sin problemas. Y si lo hacemos, descubriremos que el reloj de la nave estará retrasado con respecto al de la Tierra, no importa qué sistema de referencia utilicemos. ¿Cómo? Bueno, es imposible explicarlo sin recurrir a las matemáticas, pero podríamos decir que el planteamiento de la supuesta paradoja es erróneo. Sólo se está teniendo en cuenta uno de los efectos de la Relatividad Especial: la dilatación temporal. Pero existen otros efectos intimamente relacionados, como son la contracción espacial.

¿Lo cualo? Veamos, cuando objeto viaja a elevadas velocidades, no sólo se ralentiza el tiempo, sino que se contrae el espacio en la dirección de la velocidad. En nuestro experimento, el observador de la Tierra vería cómo la nave espacial tiene una longitud mucho más pequeña que la que tendría en reposo (permaneciendo el ancho y el alto inalterados). El observador de la nave espacial, puesto que para él es el resto del universo el que se mueve, vería que éste se contrae en la dirección de su velocidad. Es decir, para él, la Tierra y el otro planeta estarán mucho más cerca entre sí (además de tener forma de botón). Vamos a verlo mejor con algunos números. Supongamos que la nave viaja a una velocidad 0,8 c (es decir, 0,8 veces ó 4/5 la velocidad de la luz). El factor de Lorentz para esa velocidad (definido como γ=1/(1-v2/c2)1/2, donde v es la velocidad de la nave, y c la velocidad de la luz) es de 1,667, por lo que por cada segundo transcurrido en la nave, transcurren 1,667 en la Tierra, o lo que es lo mismo, por cada segundo transcurrido en la Tierra, transcurre 0,6 segundos en la nave. Supongamos ahora que el planeta destino está a 4 años luz (sí, ya sé que la estrella más cercana está a 4,2, pero se trata de un experimento mental). Viajando a 0,8 c, para el observador de la Tierra la nave llegará al cabo de 5 años. Para la tripulación de la nave, en cambio, el trayecto habrá durado 0,6 veces esa cantidad, es decir, 3 años. Han recorrido una distancia de 4 años luz en sólo 3 años. ¿Han viajado más rápido que la luz? No. La distancia entre la Tierra y el planeta se contrae también, y con el mismo factor que el tiempo. Eso quiere decir que para la nave, la distancia entre la Tierra y el otro planeta es de tan sólo 2,4 años luz (4x0,6). Viajando a 0,8 c, tardaría 3 años en recorrer esa distancia. ¡Vaya! Lo mismo que habíamos calculado antes.

Así que como veis, la paradoja es tan sólo aparente, por una trampa en el planteamiento. Los amantes de las matemáticas y la física pueden ver una explicación más rigurosa en esta página de la Universidad de Hawaii. Los que prefieran algo más vistoso e interactivo, pueden visitar ésta página de ENCIGA, que contiene un applet Java que muestra el viaje (con aceleraciones y deceleraciones incluidas) desde el punto de vista de la Tierra, la nave y el otro planeta (al que han llamado Barataria). Para disfrutar de él, hay que tener instalado el último plugin de Java, y además el API de Java 3D. Es muy interesante ver lo que ocurre desde el punto de vista de la nave: a medida que acelera, el espacio se contrae, y el transcurso del tiempo varía en ambos planetas, pero ¡de forma diferente!

Es algo bastante poco intuitivo, pero es otra de las consecuencias de la Relatividad Especial: la relatividad de la simultaneidad, es decir, dos eventos pueden ser simultáneos para un observador, pero no para otro. Imaginaos que justo a mitad de camino, las televisiones de la Tierra y Barataria emiten simultáneamente un especial sobre el viaje de la nave. Para la tripulación de la nave, esas emisiones no suceden a la vez.