CSI, bailarinas, y momento de inercia

En el episodio de esta semana de CSI: NY, uno de los casos trataba sobre la muerte de una bailarina de patinaje artístico. Los protagonistas descubren que en la pista de hielo donde se cometió el crimen, aparecía grabada una «I» mayúscula y una flecha. Posteriormente, descubren un escrito son esos mismos símbolos y una serie de ecuaciones matemáticas. Finalmente, deducen que el escrito estaba dirigido a la chica muerta, y que intentaba explicar cómo modificar su propia inercia, para dar dos saltos seguidos con giro.

Más que mala ciencia, lo que ocurre en este episodio es que no se explica claramente a los espectadores de qué va lo de la inercia y los giros, y se muestra como algo muy complicado, que sólo un científico es capaz de comprender. Y eso no es así en absoluto, sino que es algo que se estudia (o se estudiaba en mi época) en el instituto.

Veamos, lo primero es destacar un pequeño fallo, que puede ser achacable a la traducción. Se habla constantemente de la inercia, a secas, cuando realmente de lo que se trata de algo llamado momento de inercia. ¿Y eso qué es? Bueno, es algo de lo que ya he hablado en dos ocasiones, así que lo resumiré de forma muy simple. El momento de inercia (representado normalmente como I, lo que es correcto en el episodio), es al movimiento en rotación, lo que la masa al movimiento lineal. ¿Ein? No es tan complicado. Si aplicamos una fuerza sobre un objeto, éste adquirirá una aceleración (variación de velocidad) igual al valor de dicha fuerza, dividida por la masa de objeto ¿verdad?. Es lo que nos dice la Segunda Ley de Newton: F=m·a. Pues bien, si aplicamos un par (o momento de fuerza) sobre un objeto, éste adquirirá una aceleración angular (variación de velocidad angular o de rotación) igual al valor de dicho par, dividido entre el momento de inercia del objeto. La ecuación es idéntica a la anterior, pero cambiando los valores: τ=I·α, donde τ es el par (torque, en inglés) y α es la aceleración angular.

¿Cómo se calcula el momento de inercia de un objeto? El momento de inercia depende del eje de rotación del objeto, y es igual a la suma de los productos de la masa de cada partícula por el cuadrado de la distancia a dicho eje. Imaginemos que somos capaces de medir la masa de cada átomo de un objeto, y su distancia al eje de rotación. Si obtenemos el producto de masa y cuadrado de la distancia para cada átomo, y lo sumamos todo, habremos obtenido el momento de inercia. Obviamente, ese cálculo nunca se hace así, sino que se utiliza el llamado cálculo integral (para no extendernos demasiado, una integral es básicamente una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños, algo que también se estudia o estudiaba en el instituto). Fijáos que el momento de inercia de un cuerpo depende de la distribución de la masa, y del eje de rotación. Y que la distribución de la masa depende de la forma. Es decir, si alteramos la forma del objeto, alteramos su momento de inercia.

¿Y por qué es importante eso? Pues por algo llamado conservación del momento angular. ¿Y eso qué es? Bien, seguro que muchos de vosotros recordaréis (bien por el colegio, bien por haberlo leido muchas veces en este blog), la ley de conservación de la cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento (o momento lineal) es el producto de la velocidad por la masa (p=m·v), y en ausencia de fuerzas externas (o cuya suma sea nula), no varía. Pues bien, el momento angular es el producto de la velocidad angular por el momento de inercia (L=I·ω), y en ausencia de pares externos (o cuya suma sea nula), no varía. Pero fijaos que a diferencia de lo que ocurre con la masa, el momento de inercia puede variar. Como el momento angular debe ser constante (en ausencia de pares, recordemos), la velocidad de giro también varía.

Pensemos ahora en un patinador sobre hielo, que se impulsa y se pone a girar sobre sí mismo. Si extiende sus brazos y separa las piernas, aumenta su momento de inercia, por lo que su velocidad disminuye. Si repliega sus brazos y piernas, su momento de inercia disminuye, por lo que su velocidad aumenta, sin necesidad de ejercer ninguna fuerza o par adicional. Es algo que podéis comprobar fácilmente si disponéis de una silla de oficina, que pueda girar sobre sí misma. Si os sentáis sobre ella y os dais un fuerte impulso para dar vueltas, comprobaréis que podéis alterar la velocidad de giro, simplemente extendiendo y replegando brazos y piernas (aunque lógicamente, el rozamiento del aire y del eje de la silla, irá frenando poco a poco vuestra velocidad angular).

Como veis, no es necesario llenar una hoja con ecuaciones matemáticas para explicarlo. La bailarina, debía replegar sus brazos y juntar las piernas durante el salto, para adquirir un giro rápido. Al caer, debía separar brazos y piernas, para disminuir mucho su giro, y saltar replegando nuevamente sus brazos y juntando las piernas, para volver a girar rápidamente. Por otro lado, esto es algo que todo patinador o bailarín sabe. Bueno, tal vez no sepa lo que es la conservación del momento angular, pero sí que sabe que para ralentizar su velocidad de giro debe abrir los brazos, y para aumentarla, debe replegarlos. Si algún día veis una competición de petinaje artístico, fijáos bien en los movimientos del patinador. Comprobaréis que para girar rápidamente, repliega sus brazos y adopta una posición vertical, como si fuera una «I», y que al terminar el movimiento, abre los brazos, e incluso extiende una pierna. Comprobaréis además, que si vuelve a juntar los brazos y piernas, gira nuevamente bastante rápido. En esos casos, el patinador no frena ni reanuda el giro ejerciendo fuerza con los pies sobre el suelo, sino que aprovecha la conservación del momento angular.