El juglar y el puente

Hace poco leí un libro llamado «El Gran libro de los Enigmas» que recopilaba una extensa serie de acertijos, adivinanzas, y juegos de ingenio. Uno de ellos me llamó la atención, ya que su resolución violaba la mecánica clásica. Precisamente, no hace mucho, recibí un correo electrónico relativo a una reflexión sobre otro problema diferente, pero que mencionaba este acertijo como ejemplo (no me he olvidado, Gerardo). Os copio el texto del acertijo (titulado en el libro «Juglar»):

Un juglar llega a un puente con tres objetos en la mano (una pelota, un sombrero y un bolo). El guardian del puente le previene: «El puente solamente puede soportar vuestro peso más el de dos objetos. Por otra parte, el puente es demasiado largo y no se pueden lanzar los objetos de un lado a otro»

No obstante, el juglar consigue atravesar el puente en un solo viaje y llevando consigo los tres objetos. ¿Cómo lo hace?

Os dejo que penséis un poco.

Si no se os ocurre una solución, habéis de saber que fui incapaz de resolverlo. Afortunadamente en el propio libro estaban las soluciones a todos los acertijos, y cuando la leí me decepionó mucho. Os copio también la solución del libro:

¡Haciendo malabarismos con los tres objetos!

Lanzándolos al aire a lo largo de la travesía del puente, siempre había un objeto que no estaba en sus manos.

Bien, ésta es una solución ciertamente tramposa, ya que no es posible. Al menos, en un universo donde se apliquen las leyes de Newton. ¿Por qué? Bueno, aunque parezca una perogrullada, veamos qué ocurre cuando uno está simplemente de pie sobre el suelo. La gravedad hace que nuestro cuerpo ejerza una fuerza hacia abajo, sobre el suelo. Esta fuerza es lo que llamamos peso. Por la Tercera Ley de Newton, o Ley de Acción y Reacción, el suelo ejerce sobre nosotros la misma fuerza, pero hacia arriba. Estas dos fuerzas se cancelan mutuamente, y por eso permanecemos en reposo (y ni asdendemos, ni descendemos).

¿Qué ocurre si sujetamos un objeto con la mano? Parece obvio que la fuerza que ejercemos sobre el suelo aumenta, siendo la suma de nuestro peso más la del objeto. Si pensamos más detalladamente, resulta que el objeto ejerce su peso sobre nuestra mano, y nosotros, con nuestros músculos, generamos una fuerza igual y opuesta, para que el objeto permanezca allí. La suma de fuerzas sobre el objeto es nula, y por eso está quieto sobre nuestra mano. Por otro lado, nosotros ejercemos sobre el objeto una fuerza igual a su peso, y nuevamente por el principio de acción y reacción, el objeto ejerce la misma fuerza sobre nosotros. Así, nosotros ejercemos sobre el suelo una fuerza igual a nuestro peso, más la fuerza que ejerce el objeto sobre nosotros.

¿Por qué tantas vueltas para explicar lo ovbio? Pues porque quiero llamar la atención sobre algo fundamental: la fuerza que se suma a nuestro peso, no es la del peso del objeto, sino la que ejercemos con nuestra mano. Si simplemente sujetamos el objeto, la fuerza tendrá el mismo valor. Pero ¿qué pasa si lo lanzamos hacia arriba? Pues que estamos modificando el estado de movimiento del objeto. Estamos proporcionándole una aceleración, es decir, la fuerza neta aplicada sobre el objeto no es nula. Eso quiere decir que la fuerza que ejercemos sobre él con nuestra mano, es mayor que el peso del objeto. Y por tanto, la fuerza que ejercemos sobre el suelo es mayor que la suma de nuestro peso y el del objeto. Lo mismo ocurre si en vez de lanzar el objeto, lo estamos recogiendo según cae. El objeto desciende con determinada velocidad, y nosotros queremos detenerlo, por lo que debemos ejercer sobre él una fuerza mayor que la de su peso.

Volvamos ahora al juglar que hace malabarismos sobre el puente. Lanza al aire y recoje los objetos, de forma que nunca tiene más de dos en la mano. Pero si con dos objetos en la mano, lanza uno de ellos, la fuerza que se ejerce sobre el puente es superior a la suma del peso del juglar y dos objetos. Y según el enunciado del acertijo, si ese límite se supera, el puente se rompe. Así que una vez el juglar está en el puente, al lanzar o recoger un objeto, el puente cederá y el pobre malabarista caerá al vacío.

Sé lo que estáis pensando ¿Y si el juglar es tan habilidoso que puede mantener dos objetos en el aire en todo momento? Bueno, esa no es la solución del libro, que dice literalmente «siempre había un objeto que no estaba en sus manos», es decir, no tiene en cuenta lo que acabo de exponer. Pero vamos igualmente a razonar si es posible cruzar el puente manteniendo siempre dos objetos en el aire.

Fijáos que como la fuerza total sobre el puente no puede superar el peso del juglar y dos objetos, al lanzar o recoger cualquiera de los objetos, no puede ejercer sobre el mismo una fuerza superior al doble del peso del objeto. Es decir, la fuerza neta sobre el objeto no puede tener un valor superior a la de su peso, o dicho de otro modo, no se puede dotar al objeto de una aceleración hacia arriba, superior a una g.

¿Y esto qué quiere decir exactamente? Bueno, recordemos que en el colegio nos enseñaron que la aceleración es la variación de la velocidad con el tiempo. Matemáticamente, a=Δv/Δt. Fijáos que la aceleración y el tiempo son inversamente proporcionales, es decir, para una misma variación de velocidad, si el tiempo disminuye, la aceleración aumenta (y viceversa).

Si lanzamos un objeto al aire, éste se elevará, pero su velocidad irá disminuyendo hasta ser nula, y luego caerá hacia abajo, cada vez con más velocidad. Durante todo ese trayecto, ha estado sometido a una aceleración hacia abajo de una g (por la gravedad). Si despreciamos la resistencia del aire, resulta que si recogemos el objeto a la misma altura que lo hemos soltado al lanzarlo, la velocidad que tiene al caer es la misma que al lanzarlo. Al recogerlo para volver a lanzarlo, nuestra intención es alterar nuevamente su velocidad, de forma que tenga la misma que al caer, pero hacia arriba. Si queremos que la aceleración que le proporcionemos no supere una g, parece claro que el tiempo de nuestra acción debe ser igual (o mayor) al tiempo que ha estado el objeto en el aire: si la aceleración es la misma, para realizar el mismo cambio de velocidad, se tarda el mismo tiempo.

Eso quiere decir que el objeto está en nuestras manos el mismo tiempo que está en el aire. Y si tenemos tres objetos, y cada uno de ellos debe estar en nuestras manos el mismo tiempo que en el aire, necesariamente vamos a tener más de uno en nuestras manos en algún momento. Y la única forma de no ejercer sobre el puente una fuerza superior a nuestro peso más el de dos objetos, era no tener nunca más de uno en las manos mientras se hace malabarismos.

Así que, se mire como se mire, hacer juegos malabares no funcionaría. El puente se rompería igualmente.